Qoldbax problemi

7 iyun 1742-ci ildə Prussiyalı riyaziyyatçı Kristian Qoldbax Leonard Eylerə məktub (XLIII məktub)^[2] yazaraq aşağıdakı fərziyyəni irəli sürmüşdür:^[3][4]

Qoldbax burada artıq tərk edilmiş bir ənənəyə — 1-in sadə ədəd sayılmasına əsaslanırdı;^[5] beləliklə, vahidlərin cəmi də sadə ədədlərin cəmi hesab olunurdu. Daha sonra o, məktubun kənarında bir ikinci hipotez də irəli sürdü ki, bu da birincini ehtiva edir:^[b]

Eyler 30 iyun 1742-ci il tarixli məktubunda^[6] Qoldbaxa daha əvvəl aralarında olmuş bir söhbəti xatırlatdı (alm. "... so Ew. vormals mit mir communicirt haben ..."‎). Həmin söhbətdə Qoldbax qeyd etmişdi ki, yuxarıdakı iki hipotezdən birincisi aşağıdakı ifadədən çıxır:^[7][8]

Bu ifadə əslində onun məktubun kənarında yazdığı ikinci hipotezlə ekvivalentdir. Eyler 30 iyun 1742-ci il tarixli məktubunda belə yazırdı:^[3][4]

Rene Dekart yazmışdır: “Hər bir cüt ədəd ən çoxu üç sadə ədədin cəmi kimi ifadə oluna bilər.”^[9] Bu təklif Qoldbax hipotezinə bənzər olsa da, ondan daha zəifdir. Pol Erdoş bu barədə demişdir: “Dekart əslində bunu Qoldbaxdan əvvəl kəşf etmişdi... lakin hipotezin Qoldbaxın adı ilə tanınması daha yaxşıdır, çünki riyazi baxımdan Dekart sonsuz dərəcədə varlı, Qoldbax isə çox kasıb idi.”^[10]

İki sadə ədədin cəmi ilə bağlı Qoldbax hipotezi, 5-dən böyük hər bir tək ədədin üç sadə ədədin cəmi olduğunu bildirən zəif Qoldbax hipotezindən xeyli daha çətindir. Vinoqradov metodundan istifadə edərək Nikolay Çudakov,^[11] Yohannes van der Korput^[12] və Teodor Estermann^[13] (1937–1938) göstərmişlər ki, demək olar ki, bütün cüt ədədlər iki sadə ədədin cəmi kimi ifadə oluna bilər (yəni N -ə qədər olan cüt ədədlər arasında bu xassəyə malik olanların payı N artdıqca 1-ə yaxınlaşır).

1930-cu ildə Lev Şnirelman sübut etmişdir ki, 1-dən böyük hər bir natural ədəd ən çoxu C sayda sadə ədədin cəmi kimi yazıla bilər; burada C effektiv hesablana bilən sabitdir; bax: Şnirelman sıxlığı.^[14][15]

Şnirelman sabiti bu xassəyə malik olan ən kiçik C ədədidir. Şnirelmanın özü C < 800000 nəticəsini əldə etmişdir. Bu nəticə sonradan bir çox müəlliflər tərəfindən təkmilləşdirilmişdir. Məsələn, Olivye Ramare 1995-ci ildə göstərmişdir ki, n ≥ 4 olan hər bir cüt ədəd ən çoxu 6 sadə ədədin cəmi kimi ifadə oluna bilər. Ən yaxşı məlum nəticə isə Harald Helfqottun zəif Qoldbax hipotezinin sübutundan irəli gəlir;^[16] bu sübut birbaşa olaraq n ≥ 4 olan hər bir cüt ədədin ən çoxu 4 sadə ədədin cəmi olduğunu göstərir.^[17][18]

1924-cü ildə Hardi və Litlvud ümumiləşdirilmiş Riman hipotezi fərziyyəsi altında göstərmişlər ki, X -ə qədər olan və Qoldbax hipotezini pozan cüt ədədlərin sayı X^{Şablon:1/2 + c} ifadəsindən xeyli kiçikdir (burada c kiçik sabitdir).^[19]

1948-ci ildə ələk nəzəriyyəsi metodlarından istifadə edərək Alfred Renyi göstərmişdir ki, kifayət qədər böyük olan hər bir cüt ədəd bir sadə ədəd ilə ən çoxu K vuruğu olan bir demək olar sadə ədədin cəmi kimi yazıla bilər.^[20] 1973-cü ildə Çen Tszinjun ələk nəzəriyyəsindən istifadə edərək sübut etmişdir ki, kifayət qədər böyük olan hər bir cüt ədəd ya iki sadə ədədin, ya da bir sadə ədəd ilə bir yarımsadə ədədin (iki sadə ədədin hasili) cəmi kimi ifadə oluna bilər.^[21]

1975-ci ildə Hyu Louell Montqomeri və Bob Voqan göstərmişlər ki, cüt ədədlərin “əksəriyyəti” iki sadə ədədin cəmi kimi ifadə oluna bilər. Daha dəqiq desək, elə müsbət c və C sabitləri mövcuddur ki, kifayət qədər böyük N üçün N -dən kiçik olan hər bir cüt ədəd iki sadə ədədin cəmi olur, yalnız CN^{1 − c} sayda istisna mövcuddur. Xüsusilə, iki sadə ədədin cəmi olmayan cüt ədədlər çoxluğunun sıxlığı sıfıra bərabərdir.

1951-ci ildə Yuri Linnik elə bir K sabitinin mövcudluğunu sübut etmişdir ki, kifayət qədər böyük olan hər bir cüt ədəd iki sadə ədədin və ən çoxu K sayda 2-nin qüvvətinin cəmi kimi yazıla bilər. 2020-ci ildə Yanoş Pits və İmre Ruja göstərmişlər ki, K = 8 kifayətdir.^[22] ümumiləşdirilmiş Riman hipotezi qəbul edildikdə isə, Rocer Hit-Braun və Yan-Kristof Şlaqe-Puxta 2002-ci ildə K = 7-nin də kifayət etdiyini göstərmişlər.^[23]

2013-cü ildə Harald Helfqott zəif hipotezin sübutunu Annals of Mathematics Studies kitab seriyasına təqdim etmişdir. Məqalə qəbul edilsə də, rəyçinin tövsiyə etdiyi ciddi dəyişiklikləri etməyə qərar vermişdir. Bir neçə düzəlişə baxmayaraq, Helfqottun sübutu hələ də rəsmi rəyli elmi nəşrdə çap olunmamışdır.^[7][8][24]

Zəif hipotez Qoldbax hipotezindən nəticə kimi çıxır: əgər n − 3 iki sadə ədədin cəmidirsə, onda n üç sadə ədədin cəmidir. Lakin əks istiqamətli nəticə — yəni Qoldbax hipotezinin özü — Helfqottun sübutu doğru olsa belə, hələ də sübut olunmamış qalır.

Sadə ədədlərin ehtimalli paylanmasına əsaslanan statistik mülahizələr, kifayət qədər böyük ədədlər üçün həm zəif, həm də güclü formada Goldbax hipotezinin doğru olmasına dair qeyri-rəsmi arqumentlər təqdim edir: ədəd nə qədər böyükdürsə, onu iki və ya üç başqa ədədin cəmi kimi ifadə etməyin mümkün yollarının sayı da bir o qədər çox olur və bu ifadələrdən ən azı birinin tamamilə sadə ədədlərdən ibarət olması ehtimalı artır.

Qoldbax hipotezinin güclü forması üçün ən kobud hevristik ehtimalli arqument aşağıdakı kimidir. Sadə ədədlər teoreminə görə, təsadüfi seçilmiş m tam ədədinin sadə olması ehtimalı təxminən 1/ln m qədərdir. Əgər n böyük cüt ədəd və m 3 ilə n/2 arasında olan bir ədəd olarsa, onda m və n − m ədədlərinin eyni vaxtda sadə olma ehtimalı təxminən

1/ln m ln(n − m)

kimi qiymətləndirilə bilər. Bu hevristikanı davam etdirdikdə, böyük cüt n ədədinin iki tək sadə ədədin cəmi kimi yazılma yollarının sayı təxminən aşağıdakı kimi olur:

$${\displaystyle \sum _{m=3}^{\frac {n}{2}}{\frac {1}{\ln m}}{\frac {1}{\ln(n-m)}}\approx {\frac {n}{2(\ln n)^{2}}}.}$$ 

Çünki ln n ≪ Şablon:Sqrt, bu kəmiyyət n artdıqca sonsuzluğa yaxınlaşır və beləliklə gözlənilir ki, hər bir böyük cüt ədəd yalnız bir deyil, əksinə, iki sadə ədədin cəmi kimi çoxlu sayda ifadəyə malik olsun.

Bu hevristik arqument tam dəqiq deyil, çünki m və n − m ədədlərinin sadə olması hadisələrinin statistik olaraq müstəqil olduğunu fərz edir. Məsələn, əgər m təkdirsə, onda n − m də tək olacaq; əgər m cütdürsə, onda n − m də cüt olacaq. Bu isə mühüm bir asılılıqdır, çünki 2 istisna olmaqla yalnız tək ədədlər sadə ola bilər. Eyni şəkildə, əgər n 3-ə bölünürsə və m artıq 3-dən fərqli bir sadə ədəddirsə, onda n − m 3-lə qarşılıqlı sadə olacaq və beləliklə adi bir ədəddən bir qədər daha yüksək ehtimalla sadə ola bilər.

Bu cür asılılıqları daha dəqiq şəkildə nəzərə alan Hardi və Litlvud 1923-cü ildə (Hardi–Litlvud sadə ədəd çoxluqları fərziyyəsi çərçivəsində) aşağıdakı iddianı irəli sürmüşlər: hər hansı sabit c ≥ 2 üçün böyük n tam ədədinin {{{1}}} şəklində c sadə ədədin cəmi kimi ifadələrinin sayı (burada p₁ ≤ ⋯ ≤ p_c) asimptotik olaraq aşağıdakı ifadəyə bərabər olmalıdır:

$${\displaystyle \left(\prod _{p}{\frac {p\gamma _{c,p}(n)}{(p-1)^{c}}}\right)\int _{2\leq x_{1}\leq \cdots \leq x_{c}:x_{1}+\cdots +x_{c}=n}{\frac {dx_{1}\cdots dx_{c-1}}{\ln x_{1}\cdots \ln x_{c}}},}$$ 

burada hasil bütün sadə p ədədləri üzrə götürülür və γ_c,p(n) modulyar arifmetikada {{{1}}} tənliyinin q₁, …, q_c ≠ 0 mod p şərti altında olan həllərinin sayını göstərir.

Bu formul c ≥ 3 üçün İvan Vinoqradovun işlərindən başlayaraq ciddi şəkildə sübut edilmişdir, lakin {{{1}}} halında hələ də yalnız fərziyyə olaraq qalır. Bu halda, n tək olduqda ifadə 0-a bərabər olur, n cüt olduqda isə aşağıdakı formaya düşür:

$${\displaystyle 2\Pi _{2}\left(\prod _{p\mid n;p\geq 3}{\frac {p-1}{p-2}}\right)\int _{2}^{n}{\frac {dx}{(\ln x)^{2}}}\approx 2\Pi _{2}\left(\prod _{p\mid n;p\geq 3}{\frac {p-1}{p-2}}\right){\frac {n}{(\ln n)^{2}}},}$$ 

burada Π₂ — Hardi–Litlvud əkiz sadə ədədlər sabitidir:

$${\displaystyle \Pi _{2}:=\prod _{p\;{\rm {prime}}\geq 3}\left(1-{\frac {1}{(p-1)^{2}}}\right)\approx 0.66016\,18158\,46869\,57392\,78121\,10014\dots }$$ 

Bu bəzən genişləndirilmiş Qoldbax hipotezi adlandırılır. Qoldbax hipotezi əkiz sadə ədədlər hipotezi ilə çox yaxın əlaqəlidir və ümumiyyətlə bu iki problemin riyazi baxımdan oxşar dərəcədə çətin olduğu qəbul edilir.

• Deshouillers, J.-M.; Effinger, G.; te Riele, H.; Zinoviev, D. "A complete Vinogradov 3-primes theorem under the Riemann hypothesis" (PDF). Electronic Research Announcements of the American Mathematical Society. 3 (15). 1997: 99–104. doi:10.1090/S1079-6762-97-00031-0. 25 iyul 2008 tarixində arxivləşdirilib (PDF). İstifadə tarixi: 28 aprel 2021.
• Montgomery, H. L.; Vaughan, R. C. "The exceptional set in Goldbach's problem" (PDF). Acta Arithmetica. 27. 1975: 353–370. doi:10.4064/aa-27-1-353-370. 17 sentyabr 2024 tarixində arxivləşdirilib (PDF). İstifadə tarixi: 5 sentyabr 2018.
• Terence Tao proved that all odd numbers are at most the sum of five primes Arxivləşdirilib 2013-02-14 at the Wayback Machine.
• Goldbach Conjecture Arxivləşdirilib 2019-07-28 at the Wayback Machine at MathWorld.

•   Vikianbarda Qoldbax problemi ilə əlaqəli mediafayllar var.
• Goldbach's original letter to Euler — PDF format (in German and Latin) Arxivləşdirilib 2009-09-16 at the Wayback Machine
• Goldbach's conjecture Arxivləşdirilib 2008-09-18 at the Wayback Machine, part of Chris Caldwell's Prime Pages.
• Goldbach conjecture verification, Tomás Oliveira e Silva's distributed computer search.