Myöbius funksiyası

Ədədlər nəzəriyyəsində əsas yerlədən birini də Myöbius funksiyası tutur. Myöbius funksiyasını ${\displaystyle \mu (x)}$ kimi işarə edirlər.

TƏRİF. Aşağıdakı şərtlər təyin edilən ${\displaystyle \mu (x)}$ funksiyası Myöbius funksiyası adlanır:

1) ${\displaystyle \mu (x)=1}$;

2) ${\displaystyle n>1}$ və ${\displaystyle n=p_{1}\cdot p_{2}\cdots p_{k}}$ kanonik ayrılışı üçün ${\displaystyle \mu (n)=(-1)^{k}}$ (göründüyü üzrə ${\displaystyle k}$ ədədi ${\displaystyle n}$-in sadə bölənlərinin sayıdır);

3) ${\displaystyle n}$ natural ədədi ${\displaystyle p^{2}}$-na bölünürsə(${\displaystyle n{\overline {\vdots }}p^{2}}$, ${\displaystyle p}$-sadə ədəddir), ${\displaystyle \mu (n)=0}$

Misal 1: 1. ${\displaystyle \mu (30)=\mu (2\cdot 3\cdot 5)=(-1)^{3}=-1;}$ ${\displaystyle \mu (85)=\mu (5\cdot 13)=(-1)^{2}=1;}$ ${\displaystyle \mu (28)=\mu (2^{2}\cdot 7)=0;}$ ${\displaystyle \mu (48)=\mu (2^{4}\cdot 3)=0;}$ ${\displaystyle \mu (105)=\mu (3\cdot 5\cdot 7)=(-1)^{3}=-1;}$

2. ${\displaystyle \mu (1)=1;}$ ${\displaystyle \mu (5)=-1;}$ ${\displaystyle \mu (9)=0;}$

${\displaystyle \mu (2)=-1;}$ ${\displaystyle \mu (6)=1;}$ ${\displaystyle \mu (10)=1;}$

${\displaystyle \mu (3)=-1;}$ ${\displaystyle \mu (7)=-1;}$ ${\displaystyle \mu (11)=-1;}$

${\displaystyle \mu (4)=0;}$ ${\displaystyle \mu (8)=0;}$ ${\displaystyle \mu (12)=0;}$

Myöbius funksiyasının sadə xassələrinə aid olan aşağıdakı teoremlərlə tanış olaq.

Teorem 1. Myöbius funksiyası multiplikativ funksiyadır, yəni ${\displaystyle (n_{1},n_{2})=1}$ üçün ${\displaystyle \mu (n_{1}\cdot n_{2})=\mu (n_{1})\cdot \mu (n_{2});}$

Teorem 2. İxtiyari ${\displaystyle n}$ natural ədədi ${\displaystyle (n>1)}$ və onun ${\displaystyle n/d}$ natural bölənləri cəmi üçün

${\displaystyle \sum \limits _{n/d}\mu (d)=0.}$

Misal 2: ${\displaystyle n=252.}$ ${\displaystyle n=252=2^{2}\cdot 3^{2}\cdot 7.}$ ${\displaystyle n=252}$ üçün ${\displaystyle \sum \limits _{n/d}\mu (d)}$ cəmini yalnız sıfır olmayan toplananları nəzərə almaqla yazsaq:

${\displaystyle \sum \limits _{n/d}\mu (d)=\mu (1)+\mu (2)+\mu (3)+\mu (7)+\mu (2\cdot 3)+\mu (2\cdot 7)+\mu (3\cdot 7)+\mu (2\cdot 3\cdot 7)=1-3+3-1=0}$

alırıq.