Mürəkkəb faizlər

Mürəkkəb faizlərin hesablanması zamanı əmanətçinin alacağı ümumi məbləğ ${\displaystyle x\cdot (1+{\frac {a}{100}})^{n}}$ -a bərabər olacaq, burada ${\displaystyle x}$  qoyulmuş vəsaitin ilkin məbləğidir, ${\displaystyle a>-1}$   — illik faiz dərəcəsi, ${\displaystyle n}$  — illərlə depozit müddəti. İllik s% dərəcəsi ilə əmanətlə, ilk saxlama ilindən sonra kapital onun x plus s%-i olacaq, yəni ${\displaystyle (1+{\frac {s}{100)artacaq.}})}$  dəfə. İkinci ildə s% bir qəpikdən deyil, ondan ${\displaystyle (1+{\frac {s}{100}})}$  dəfə böyük olan dəyərdən hesablanacaq. Və öz növbəsində, bu dəyər də il ərzində ${\displaystyle (1+{\frac {s}{100}})}$  dəfə artacaq. Bu o deməkdir ki, əsas məbləğlə müqayisədə iki il ərzində töhfə ${\displaystyle (1+{\frac {s}{100}})^{2}}$  dəfə artacaq. Üç il üçün - ${\displaystyle (1+{\frac {s}{100}})^{3}}$  dəfə.

N ilinə qədər əsas töhfə ${\displaystyle (1+{\frac {s}{100}})^{N}}$  orijinal dəyərindən dəfələrlə artacaqdı.

Aylıq kapitallaşmaya tətbiq edildikdə mürəkkəb faiz düsturu belə görünür:

${\displaystyle x\cdot (1+{\frac {s}{12\cdot 100}})^{m}}$ 

burada x ilkin əmanət məbləği, s faizlə illik faiz dərəcəsi, m aylarla əmanət müddətidir.

Yaxşı bir nümunə, İsa Məsihin şagirdlərin diqqətini çəkdiyi kasıb bir dul qadın haqqında İncil hekayəsindən "dul qadın gənəsi" dir: o, Yerusəlim məbədinə ianə olaraq əlində olan son şeyi qoydu - ən kiçik sikkələrdən ikisi, gənə. Təsəvvür etsək ki, o vaxtdan bu günə kimi müəyyən bir bank mövcud olub, bütün bu müddət ərzində depozitlər üzrə faizlərin, məsələn, illik beş faiz həcmində kapitallaşdırılmasını təmin edib və bu dul qadının gənəsi bu bankdakı hesaba yatırılıb. onda bu günə qədər bu hesabda hansı məbləğ yığılacaqdı?

Aşağıdakı hesablamalar yalnız mürəkkəb faizlərin istifadəsini göstərir. Aydınlıq üçün gənə haqqında deyil, bir qəpik haqqında danışacağıq. Əgər tarif illik 5% olarsa, onda birinci saxlama ilindən sonra kapital bir qəpik üstəgəl onun 5%-i olacaq, yəni (1+0,05) dəfə artacaq. İkinci ildə 5% artıq bir qəpikdən deyil, ondan (1 + 0,05) dəfə çox olan dəyərdən hesablanacaq. Və, öz növbəsində, bu dəyər də il ərzində (1 + 0,05) dəfə artacaq. Bu o deməkdir ki, ilkin məbləğlə müqayisədə iki il ərzində töhfə ${\displaystyle (1+0.05)^{2}}$  dəfə artacaq. Üç il üçün - ${\displaystyle (1+0.05)^{3}}$  dəfə.

2022-ci ilə qədər əsas töhfə ${\displaystyle (1+0.05)^{2022}}$  orijinal dəyərindən dəfələrlə artacaq. ${\displaystyle (1+0.05)^{2022}}$  dəyəri ${\displaystyle 6.99\cdot 10^{42}}$ -dır. Bir qəpik ilkin töhfə ilə 2021-ci ilə qədər bu məbləğ ${\displaystyle 6.99\cdot 10^{42}}$  qəpik, yəni 69 dodecillyon rubldan çox olacaq.

Belə bir nümunənin orijinal ideyası polşalı riyaziyyatçı Stanislav Kovala məxsusdur və onun 70-ci illərin əvvəllərində "500 riyaziyyat tapmacası" kitabında nəşr etdirmişdir^[1].

Aylıq ödəniş üçün dəqiq formula

${\displaystyle C={\frac {Pr}{1-{\frac {1}{(1+r)^{n}}}}}}$ 

c = aylıq ödəniş, P = ilkin məbləğ, r = aylıq faiz dərəcəsi, n = ödəniş dövrlərinin sayı.

Mürəkkəb faiz funksiyası zaman baxımından eksponensial funksiyadır.

${\displaystyle P(t)=P_{0}(1+{r \over n})^{nt}}$ 

t = illərlə ümumi vaxt

n = illik hesablama dövrlərinin sayı

r = nominal illik faiz dərəcəsi, onluq kəsr kimi ifadə edilir. 6 və s.: % = 0,06

${\displaystyle n\rightarrow \infty }$  üçün limit ${\displaystyle (1+{r \over n})^{nt}}$  </math> ${\displaystyle e^{rt}}$ -dır (bax E (nömrə)), buna görə də davamlı hesablama üçün düstur belə olur:

${\displaystyle P(t)=P_{0}e^{rt}}$ 

• Джон К. Халл. Глава 4. Процентные ставки // Опционы, фьючерсы и другие производные финансовые инструменты (6-е изд). М.: Вильямс. 2007 [Options, Futures and Other Derivatives]. 133–165. ISBN 0-13-149908-4.
• Джереми Миллер. Правила инвестирования Уоррена Баффетта. М.: Альпина Паблишер. 2017 [Jeremy Miller: Warren Buffett's Ground Rules: Words of Wisdom from the Partnership Letters of the World's Greatest Investor]. ISBN 978-5-9614-6212-8.
• Нечаев В. М., Яроцкий В. Г. Процент, в экономике и с юридической точки зрения  // Энциклопедический словарь Брокгауза и Ефрона: В 86 томах (82 т. и 4 доп.). СПб.. 1890–1907.