Koşi-Eyler tənliyi

y⁽ⁿ⁾(x) y(x) funksiyasının n-ci dərəcədən törəməsi olsun, onda Koşi- Eyler tənliyi bu şəkildə verilir:

${\displaystyle a_{n}x^{n}y^{(n)}(x)+a_{n-1}x^{n-1}y^{(n-1)}(x)+\cdots +a_{0}y(x)=0.}$ 

${\displaystyle x=e^{u}}$  əvəzləməsi ilə tənlik sabit əmsallı xətti diferensial tənliyə gətirilir. Alternativ olaraq tənliyin aşkar həlli ${\displaystyle y=x^{m}}$  əvəzləməsi ilə tapılır.^[1]

Ən çox yayılmış Koşi-Eyler tənliyi Laplas tənliyinin qütb koordinatlarında həlli kimi, bir sıra fizika və mühəndislik tətbiqlərində görünən ikitərtibli tənlikdir. İkitərtibli Koşi-Eyler tənliyi aşağıdakı kimidir:^[1]

${\displaystyle x^{2}{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}+ax{\frac {dy}{dx}}+by=0.\,}$ 

Aşkar həlli

${\displaystyle y=x^{m}\,}$ 

şəklində tapılır.

Differensiallamaqla alınır:

${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=mx^{m-1}\,}$ 

və

${\displaystyle {\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}=m(m-1)x^{m-2}.\,}$ 

Alınan ifadələri əsas tənlikdə yerinə yazmaqla alınır:

${\displaystyle x^{2}(m(m-1)x^{m-2})+ax(mx^{m-1})+b(x^{m})=0\,}$ 

Tənlik aşağıdakı hala gətirilir:

${\displaystyle m^{2}+(a-1)m+b=0.\,}$ 

Alınan tənlik m -ə nəzərən həll edilir. Üç xüsusi hal mümkündür:

• 1-ci hal, tənliyin iki müxtəlif kökü var: m₁ and m₂;
• 2-ci hal, tənliyin təkrarlayan kökü var: m;
• 3-cü hal, tənliyin kompleks kökü var: α ± βi.

Birinci hal üçün ümumi həll:

${\displaystyle y=c_{1}x^{m_{1}}+c_{2}x^{m_{2}}\,}$ 

2-ci hal üçün ümumi həll:

${\displaystyle y=c_{1}x^{m}\ln(x)+c_{2}x^{m}\,}$ 

3-cü hal üçün ümumi həll:

${\displaystyle y=c_{1}x^{\alpha }\cos(\beta \ln(x))+c_{2}x^{\alpha }\sin(\beta \ln(x))\,}$ 

${\displaystyle \alpha =\mathop {\rm {Re}} (m)\,}$ 

${\displaystyle \beta =\mathop {\rm {Im}} (m)\,}$ 

${\displaystyle c_{1},c_{2}}$  ∈ ℝ .

Həllin bu forması x = e^t əvəzləməsi edib, Eyler düsturundan istifadə etməklə əldə edilir.