Kəsilməz funksiya

Funksiyanın kəsilməzliyi — əgər

${\displaystyle \lim _{x\to x_{0}}}$ f(x)=f(${\displaystyle x_{0}}$) (1)

olarsa, yəni f(x) funksiyası x=${\displaystyle x_{0}}$-da təyin olunub və istənilən Ԑ>0 üçün elə δ=δ(Ԑ,${\displaystyle x_{0}}$) >0 ədədi var ki, ${\displaystyle \left\vert x-x_{0}\right\vert }$˂δ şərtini ödəyən və f(x)-in təyin oblastından olan istənilən x üçün 

${\displaystyle \left\vert f(x)-f(x_{0})\right\vert }$˂Ԑ

bərabərsizliyi doğrudursa, onda f(x) funksiyası x=${\displaystyle x_{0}}$-da (və ya ${\displaystyle x_{0}}$ nöqtəsində) kəsilməz adlanır.

Əgər f(x) funksiyası verilmiş X=${\displaystyle \{x\}}$ çoxluğunun (intervalın, parçanın və i.a.) bütün nöqtələrində kəsilməzdirsə, bu funksiya X çoxluğunda kəsilməz adlanır.

Əgər f(x) funksiyasının X=${\displaystyle \{x\}}$ təyin oblastına daxil olan və ya bu çoxluğun limit nöqtəsi olan hər hansı x=${\displaystyle x_{0}}$ nöqtəsində (1) bərabərliyi ödənmirsə (yəni ya (a) f(${\displaystyle x_{0}}$) ədədi yoxdur,başqa sözlə,funksiya x=${\displaystyle x_{0}}$ nöqtəsində təyin olunmayıb, ya (b) lim{x \to ${\displaystyle x_{0}}$}{f(x)} yoxdur, ya da (c) (1) düsturunun hər iki tərəfinin mənası var,lakin onlar bir-birinə bərabər deyil), onda ${\displaystyle x_{0}}$ nöqtəsi f(x) funksiyasının kəsilmə nöqtəsi adlanır.

Kəsilmə nöqtələrini aşağıdakı kimi fərqləndirirlər: 1) I növ kəsilmə nöqtəsi elə ${\displaystyle x_{0}}$ nöqtəsinə deyilir ki, bu nöqtədə sonlu sol və sağ limitləri

f(${\displaystyle x_{0}}$-0)=${\displaystyle \lim _{x\to x_{0}-0}}$f(x), f(${\displaystyle x_{0}}$+0)= ${\displaystyle \lim _{x\to x_{0}+0}}$f(x)

var;2) II növ kəsilmə - bütün qalan nöqtələrdir.

f(${\displaystyle x_{0}}$+0) - f(${\displaystyle x_{0}}$-0)

fərqi ${\displaystyle x_{0}}$ nöqtəsində funksiyanın sıçrayışı adlanır.

Əgər

f(${\displaystyle x_{0}}$-0) = f(${\displaystyle x_{0}}$+0)

bərabərliyi ödənərsə, onda ${\displaystyle x_{0}}$ kəsilmə nöqtəsi aradan qaldırıla bilən adlanır. Əgər f(${\displaystyle x_{0}}$-0) və ya f(${\displaystyle x_{0}}$+0) limitlərindən heç olmasa biri ∞ simvoluna bərabərdirsə, onda ${\displaystyle x_{0}}$ sonsuz kəsilmə nöqtəsi adlanır.

Əgər

f(${\displaystyle x_{0}}$-0) = f(${\displaystyle x_{0}}$) f(${\displaystyle x_{0}}$+0) = f(${\displaystyle x_{0}}$)

bərabərliyi ödənərsə, onda f(x) funksiyasına ${\displaystyle x_{0}}$ nöqtəsində soldan (sağdan) kəsilməz deyilir. f(x) funksiyasının ${\displaystyle x_{0}}$ nöqtəsində kəsilməzliyi üçün zəruri və kafi şərt üç ədədin bərabərliyidir:

f(${\displaystyle x_{0}}$-0) = f(${\displaystyle x_{0}}$+0) = f(${\displaystyle x_{0}}$)

2.Elementar funksiyaların kəsilməzliyi.Əgər f(x) və g(x) funksiyaları x=${\displaystyle x_{0}}$ nöqtəsində kəsilməzdirlərsə,onda

a)f(x) ± g(x) b)f(x)g(x) c)${\displaystyle {\frac {f(x)}{g(x)}}}$ (g(${\displaystyle x_{0}}$)≠0)

funksiyaları da x=${\displaystyle x_{0}}$-da kəsilməzdir.

Xüsusi halda: a) tam rasional

P(x)=${\displaystyle a_{0}}$+${\displaystyle a_{1}}$x+...+${\displaystyle a_{n}}$${\displaystyle x^{n}}$

funksiyası istənilən x nötəsində kəsilməzdir; b) kəsr rasional 

R(x)=${\displaystyle {\frac {a_{0}+a_{1}x+...+a_{n}x^{n}}{b_{0}+b_{1}x+...+b_{m}x^{m}}}}$

funksiyası məxrəcin sıfra çevrilmədiyi hər bir x nöqtəsində kəsilməzdir.

Ümumiyyətlə, elementar funksiyalar: ${\displaystyle x^{n}}$,sinx,cosx,tgx,${\displaystyle a^{x}}$,log_a(x),arcsinx,arccosx,arctgx,... təyin olunduqları bütün nöqtələrdə kəsilməzdir.

Daha ümumi nəticə aşağıdakılardır: əgər f(x) funksiyası x=${\displaystyle x_{0}}$-da kəsilməzdirsə və g(y) funksiyası y=f(${\displaystyle x_{0}}$)-da kəsilməzdirsə,onda g(f(x)) funksiyası x=${\displaystyle x_{0}}$-da kəsilməzdir.