Furye sıraları

Əgər (${\displaystyle -l,l}$ ) intervalında təyin olunmuş ${\displaystyle f(x)}$  funksiyası hissə-hissə kəsilməzdirsə, ${\displaystyle f(x)}$ -in hissə-hissə kəsilməz ${\displaystyle f'(x)}$  törəməsi varsa və bütün ${\displaystyle \xi }$  kəsilmə nöqtələri requlyardırsa ( yəni ${\displaystyle f(\xi )={\tfrac {1}{2}}[f(\xi -0)+f(\xi +0)]}$  ) ,onda bu intervalda ${\displaystyle f(x)}$  funksiyası Furye sırası şəklində göstərilə bilər:

${\displaystyle f}$ (${\displaystyle x}$ )${\displaystyle =}$ ${\displaystyle {\tfrac {a_{0}}{2}}+\sum _{n=1}^{\infty }(a_{n}\cos {\tfrac {n\pi x}{l}}+b_{n}\sin {\tfrac {n\pi x}{l}})}$  , (1)

burada

${\displaystyle a_{n}={\tfrac {1}{l}}\int \limits _{-l}^{l}f(x)\cos {\tfrac {n\pi x}{l}}dx}$  (${\displaystyle n}$ ${\displaystyle =0,1,2,...}$ ) (2)

və

${\displaystyle b_{n}={\tfrac {1}{l}}\int \limits _{-l}^{l}f(x)\sin {\tfrac {n\pi x}{l}}dx}$  (${\displaystyle n=0,1,2,...}$ ) (2').

Xüsusi halda:

a)əgər ${\displaystyle f(x)}$  funksiyası cütdürsə, onda

${\displaystyle f(x)={\tfrac {a_{0}}{2}}+\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}\cos {\tfrac {n\pi x}{l}}}$  (3)

olar, burada

${\displaystyle a_{n}={\tfrac {2}{l}}\int \limits _{0}^{l}f(x)\cos {\tfrac {n\pi x}{l}}}$  (${\displaystyle n=0,1,2,...}$ ) ;

b)əgər ${\displaystyle f(x)}$  funksiyası təkdirsə, onda

${\displaystyle f(x)=\sum _{n=1}^{\infty }b_{n}\sin {\tfrac {n\pi x}{l}}}$  (4)

olar, burada

${\displaystyle b_{n}={\tfrac {2}{l}}\int \limits _{0}^{l}f(x)\sin {\tfrac {n\pi x}{l}}}$  (${\displaystyle n=0,1,2,...}$ ) .

(${\displaystyle 0,l}$ ) intervalında təyin olunan və yuxarıda göstərilən kəsilməzlik xassələrini ödəyən ${\displaystyle f(x)}$  funksiyasını bu intervalda həm (3) düsturu, həm də (4) düsturu şəklində göstərmək olar.

(${\displaystyle -l,l}$ ) intervalında kvadratı ilə birlikdə inteqrallanan ixtiyari ${\displaystyle f(x)}$  funksiyası üçün (2) və (2') əmsalları vasitəsilə formal qurulan (1) sırası Lyapunov bərabərliyini ödəyir:

${\displaystyle {\tfrac {a_{0}^{2}}{2}}+\sum _{n=1}^{\infty }(a_{n}^{2}+b_{n}^{2})={\tfrac {1}{l}}\int \limits _{-l}^{l}f(x)^{2}dx}$  .

(${\displaystyle -l,l}$ ) intervalında Riman mənada inteqrallanan ${\displaystyle f(x)}$  funksiyasının ( hətta dağılan ) (1) Furye sırasını bu intervalda hədbəhəd inteqrallamaq olar.