Evklid məsafəsi

Həqiqi ədəd oxu üzərindəki istənilən iki nöqtə arasındaki məsafə həmin nöqtələrin koordinatlarının ədədi fərqinin mütləq qiymətinə bərabərdir. Belə ki, əgər ${\displaystyle p}$  və ${\displaystyle q}$  həqiqi ədəd oxu üzərindəki iki nöqtədirsə, onda bu nöqtələr arasındaki məsafə bu şəkildə verilir:^[1] $${\displaystyle d(p,q)=|p-q|.}$$  Eyni qiyməti verən, lakin daha yüksək ölçülərə daha asanlıqla ümumiləşdirilə bilən daha mürəkkəb bir düstur: $${\displaystyle d(p,q)={\sqrt {(p-q)^{2}}}.}$$ Bu formulda ifadəni kvadrata yüksəltmək və sonra kvadrat kökü almaq müsbət ədədi dəyişmir, lakin hər hansı mənfi ədədi mütləq qiymətiilə əvəz edir.^[1]

Əgər Evklid müstəvisindəki ${\displaystyle p}$  və ${\displaystyle q}$  nöqtələrinin uyğun olaraq ${\displaystyle (p_{1},p_{2})}$  və ${\displaystyle (q_{1},q_{2})}$  karteziyan koordinatlarıdırsa, onda ${\displaystyle p}$  və ${\displaystyle q}$  nöqtələri arasındaki Evklid məsafəsi aşağıdakı kimi ifadə edilir:^[2] $${\displaystyle d(p,q)={\sqrt {(q_{1}-p_{1})^{2}+(q_{2}-p_{2})^{2}}}.}$$ Bu ifadəni Pifaqor teoremini hipetenuzu ${\displaystyle p}$ -dən ${\displaystyle q}$ -yə parça olan düzbucaqlı üçbucağa tətbiq etməklə almaq olar, bu halda katetlər həmin nöqtələrin ${\displaystyle x}$  və ${\displaystyle y}$  koordinatları fərqinin mütləq qiyməti olacaq. Kvadrat kökün içindəki iki kvadrat formul üfüqi və şaquli katetlərin kvadratların sahələrini verir və kvadrat kök hipotenuzdakı kvadratın sahəsini hipotenuzun uzunluğuna çevirir.^[3]

Qütb koordinatları ilə verilən nöqtələr üçün məsafəni hesablamaq da mümkündür. ${\displaystyle p}$  və ${\displaystyle q}$  nöqtəsinin qütb koordinat sistemində uyğun olaraq kordinatları ${\displaystyle (r,\theta )}$  və ${\displaystyle (s,\psi )}$ -dırsa, onda həmin nöqtələr arasındaki məsafə^[2] kosinuslar teoremi ilə aşağıdakı kimi tapılır: $${\displaystyle d(p,q)={\sqrt {r^{2}+s^{2}-2rs\cos(\theta -\psi )}}.}$$  ${\displaystyle p}$  və ${\displaystyle q}$  kompleks müstəvidə kompleks ədədlər şəklində ifadə edildikdə, həqiqi ədədlərlə ifadə olunan nöqtələr üçün birölçülü məsafə düsturdan istifadə edilə bilər:^[4] $${\displaystyle d(p,q)=|p-q|.}$$ 

Karteziyan koordinatlarla verilmiş üçölçülü fəzadaə iki nöqtə arasındaki Evklid məsafəsi aşağıdakı formul vasitəsilə tapılır: $${\displaystyle d(p,q)={\sqrt {(p_{1}-q_{1})^{2}+(p_{2}-q_{2})^{2}+(p_{3}-q_{3})^{2}}}.}$$  Ümumiyyətlə, karteziyan kordinatlar vasitəsilə ${\displaystyle n}$  ölçülü Evklid fəzasında verilən nöqtələr üçün məsafə formulu aşağıdakı kimidir:^[5] $${\displaystyle d(p,q)={\sqrt {(p_{1}-q_{1})^{2}+(p_{2}-q_{2})^{2}+\cdots +(p_{i}-q_{i})^{2}+\cdots +(p_{n}-q_{n})^{2}}}.}$$