Elçin Ağayev 20 oktyabr 1962-ci ildə Saatlı rayonunun Mollavaizli kəndində anadan olmuşdur. Orta təhsilini 1970–1980-ci illərdə Saatlı rayonu Səməd Vurğun adına orta məktəbdə almışdır. Orta məktəbi fərqlənmə attestatı ilə bitirərək Azərbaycan Tibb Universitetinin müalicə-profilaktika fakültəsinə daxil olmuş və 1986-cı ildə məzun olmuşdur. 1986–87-ci illərdə Musa Nağıyev adına Bakı şəhəri Kliniki Təcili Tibbi Yardım Xəstəxanasında cərrahlıq ixtisası üzrə bir illik internatura keçmişdir. 1987–90-cı illərdə Saatlı Rayon Mərkəzi Xəstəxanasında cərrah vəzifəsində çalışmışdır.

1990–94-cü illərdə Azərbaycan Tibb Universitetinin Ümumi cərrahlıq kafedrasının aspirantı, 1994-cü ildə assistenti, 2011-ci ildə dosenti, 2015-ci ildə professoru, 2017-ci ildə isə həmən kafedranın müdiri vəzifəsinə seçilmişdir.

2021-ci ilin aprelin 9-da Azərbaycan Respublikası Prezidentinin Sərəncamı ilə Elçin Ağayev "Tərəqqi" medalı ilə təltif olunmuşdur.

Ailəlidir, iki övladı var.

Elçin Ağayev 1994-cü ildə "Hemodinamikanın və homeostazın müxtəlif vəziyyətlərində bağırsaq anastomozlarının bitişməsi" mövzusunda namizədlik, 2015-ci ildə isə "Bağırsaqların təcili və təxirəsalınmaz rezeksiyasından sonrakı erkən nəticələrin yaxşılaşdırılması yolları" mövzusunda doktorluq dissertasiyasını müdafiət etmişdir. 2004-cü ildə dosent, 2015-ci ildə isə professor elmi adına layiq görülmüşdür. O, çap olunmuş 150 məqalə və tezisin, 1 dərsliyin, 2 metodiki tövsiyənin, 1 tədris-metodiki vəsaitin, 4 tədris vəsaitinin, 1 monoqrafiyanın və 2 ixtiranın müəllifidir.

Elçin Ağayev 1983-cü ildən kliniki fəaliyyətlə məşğuldur. 2022-ci ildə Səhiyyə Nazirliyinin Cərrahiyyə Üzrə Baş Mütəxəssisi təyin edilmişdir. Kliniki fəaliyyəti əsasən qarın və döş boşluğu orqanlarının kəskin və xroki cərrahi xəstəlikləri zamanı aparılan açıq və laparoskopik əməliyyatların icrası ilə bağlıdır.