Barış Əkinçiər 24 mart 1999-cu ildə Almaniyanın ərazisinə görə dördüncü, əhalisinin sayına görə isə birinci vilayəti olan Şimali Reyn-Vestfaliya vilayətinin rayonunun Hemer şəhərində azərbaycanlı və türk mənşəli ailədə anadan olmuşdur. Əkinçiər futbol karyerasına Şimali Reyn-Vestfaliyanın komandasında başlamış, sonra eyni vilayətin Essen şəhərini təmsil edən klubuna keçmiş, nəhayət 2017-ci ildə Boxum şəhərinin eyniadlı klubunun — gənclər akademiyasına qatılmışdır. Peşəkar karyerasına məhz bu klubda başlayan Barış 2017-ci ilin avqustunda Bayer Leverkusen ilə yoldaşlıq oyununda əsas komandasında çıxış etdi.

2018-ci ilin iyun ayında Barış 2 illik — 30 iyun 2020-ci ilə qədər peşəkar müqavilə imzaladı. 19 avqust 2018-ci ildə Almaniya Kubokunun 2018–2019 mövsümünün Veyç Flensburq-Boxum matçında Almaniya Kubokunda debüt etdi. 5 aprel 2019-cu ildə isə Yan Regensburqa 1–2 hesabı ilə məğlub olduqları oyunda meydana çıxmaqla 2. Bundesliqada da debüt etmək şansı qazandı.

Barış 2019–2020 mövsümünü icarə əsasında Avstriya 2-ci Liqa təmsilçisi keçirdi.

Barış Əkinçiər 2016-cı ilin mayında Azərbaycanda keçirilən Futbol üzrə 17 yaşadək Avropa Çempionatında Azərbaycan U-17 komandasının heyətinə daxil edildi. 2017-ci ildə Azərbaycan U-19 millisində 3 oyuna çıxan Barış 2018-ci ildən Azərbaycan U-21 millisinə dəvət alır.