Şvars prinsipi

${\displaystyle \sigma }$  oblastında analitik və ${\displaystyle \gamma }$  üzrə sərhəd qiymətləri analitik funksiya olan ${\displaystyle f(z)}$  funksiyasını ${\displaystyle \gamma }$  xəttindən analitik davam etdirmək olar. ${\displaystyle f(z)}$ -in ${\displaystyle \gamma }$  üzrə qiymətləri ${\displaystyle z\rightarrow t}$  olduqda ${\displaystyle f(z)}$ -in ${\displaystyle f(t)}$  limit qiyməti başa düşülür.

Əvvəlcə teormi xüsusi hal üçün isbat edək. Fərz edək ki, ${\displaystyle \gamma }$  həqiqi oxun ${\displaystyle [a,b]}$  parçasıdır. Onda ${\displaystyle \gamma }$ -nın tənliyi

olar. Şərtə görə ${\displaystyle f(t)}$  funksiyası ${\displaystyle [a,b]}$  üzərində analitik olduğundan bu parçanın ${\displaystyle x_{o}}$  nöqtəsi ətrafında

olar. Burada ${\displaystyle t}$  evazine kompleks ${\displaystyle z}$  dəyişənini yazsaq

funksiyasrı ${\displaystyle x=x_{o}}$  nöqtasinin müəyyən ətratında analitik funksiya olar.

ile işarə edək. Aydındır ki, ${\displaystyle \omega _{x_{0}},\sigma _{x_{0}}}$  oblastında analitik funksiya olmaqla ${\displaystyle \gamma _{x_{0}}}$  üzrə

olur. ${\displaystyle \gamma _{x_{0}}}$  üzrə ${\displaystyle \omega (t)=o}$  olduğundan Şvarsın simmetriya prinsipinə görə ${\displaystyle \omega (z)}$  -i ${\displaystyle \gamma }$  xəttindən analtik davam etdirmək olar, Beləliklə, göstərmiş oluruq ki, ${\displaystyle \omega (z)}$  funksiyası mərkəzi ${\displaystyle x_{0}}$ olan və ${\displaystyle \gamma _{x_{0}}}$  parçası öz daxilinə alan müəyyən bir ${\displaystyle \sigma _{x_{0}}}$  ətrafında analitik olmaqla ${\displaystyle \gamma _{x_{0}}}$  üzrə sıfra çevrilir. Onda analitik funksiyaların yeganəlik teoreminə görə həmin ətrafda ${\displaystyle \omega (z)\equiv o}$  və yaxud da

olar. Başqa sözlə, ${\displaystyle f(z)}$  funksiyasını ${\displaystyle \gamma _{x_{0}}}$  xəttindən analitik davam etdirmsk olar. ${\displaystyle x_{0}}$  nöqtəsi ${\displaystyle [\alpha ,\beta ]}$  parçasının ixtiyari nöqtəsi olduğundan ${\displaystyle f(z)}$ -i ${\displaystyle \gamma }$  xəttindən analitik davam etdirmək olar. Bu üsuldan göründüyü kimi ${\displaystyle \varphi (z)}$  funksiyası ${\displaystyle f(z)}$ -in analitik davamıdır.

İndi ümumi halı tədqiq edək. Fərz edək ki, ${\displaystyle z=z(t)}$  ${\displaystyle (\alpha \leq t\leq \beta )}$  düzgün ${\displaystyle \gamma }$  analitik xəttinin tənliyidir. Şərtə görə ${\displaystyle f(z)}$ , ${\displaystyle \gamma }$  üzrə analitik funksiya olduğundan

funksiyasını hər hansı ${\displaystyle t=t_{0}}$  nöqtəsi ətrafında sıraya ayırmaq olar:

Şərtə görə ${\displaystyle z^{\prime }(t_{0})\neq 0}$  olduğundan ${\displaystyle t=t_{0}}$ -ın elə ${\displaystyle \delta _{t_{0}}^{\prime }}$  ətrafını tapmaq olar ki, həmin ətraf

funksiyası vasitəsilə ilə mərkəzi ${\displaystyle \gamma }$  üzərində olan ${\displaystyle \delta _{t_{0}}^{\prime }}$  ətrafına qarşılıqlı birqiymətli inikas olunsun. ${\displaystyle \Phi (t)}$  mərkəzi ${\displaystyle t_{0}}$  nöqtəsində olan müəyyən ${\displaystyle K_{t_{0}}}$  parçasında analitik funksiya olduğundan bundan əvvəlki hala görə həmin funksiyanı ${\displaystyle K_{t_{0}}}$  parçasından analitik davam etdirmək olar. Bu funksiyanın aralitik davamını ${\displaystyle \Phi _{0}(t)}$  ilə işarə edək. ${\displaystyle z=z(t)}$  funksiyası vasitəsilə ${\displaystyle \delta _{t_{0}}}$ -ın ${\displaystyle \delta _{t_{0}}^{\prime }}$  ətrafı ${\displaystyle \delta _{t_{0}}}$  ətrafına qarşılıqlı birqiymətli inikas olduğundan ${\displaystyle t}$ -in istənilən ətrafında

olar. Ona görə də ${\displaystyle t=p(z)}$ -i ${\displaystyle z=z(t)}$ -nin tərs funksiyasə kimi təyin etmək olar. Onda

funksiyası ${\displaystyle z}$  nöqtəsini daxilinə alan və ${\displaystyle \gamma }$ -nın hissəsi olan müəyyən bir ${\displaystyle \gamma _{z_{0}}}$  qövsündən ${\displaystyle f(z)}$  -in analitik davamı olar. ${\displaystyle z_{0},\gamma }$  qövsünün ixtiyari nöqtəsi olduğundan aydındır ki, ${\displaystyle f(z)}$  -i ${\displaystyle \gamma }$  xəttindan analtik davam etdirmək olar. Bununla da analitik davam üçün Şvars teoremi tamamilə isbat olunur.

1. Ə. H. Əhmədov. Xətti analizin üç prinsipi. Dərs vəsaiti. Bakı: "Bakı Universiteti" nəşriyyatı, 2008, 112 s.

2. Elşar Qurban oğlu Orucov. Tətbiqi funksional analizin elementləri: Bakı "BDU nəşriyyatı", 2008, 234 səh. Arxivləşdirilib 2017-05-17 at the Wayback Machine

3. А. Н. Колмогоров, С. М. Фомин. Элементы теории функции и функционального анализа. М., 1988 г

4. Л. А. Люстерник, В. И. Соболев. Элементы функционального анализа. М., 1965г.

5. Л. В. Канторович, Г. П. Акилов. Функциональный анализ в нормированных пространствах. М., 1959 г.

6. М. Рид, Б. Саймон. Методы современной математической физики, т.1. Функциональный анализ, 1977 г.

7. В. А. Треногин. Задачи и упражнения по функциональному анализу. М., 1984 г.

8. Ə. Həbibzadə. Kompleks dəyişənli funksiyalar nəzəriyyəsi. Bakı, 1962

Функции комплексной переменной