Язык этой книги, как и большинства математических текстов, состоит из обычного языка и ряда специальных символов излагаемых теорий. Наряду с этими специальными символами, которые будут вводиться по мере надобности, мы используем распространенные символы математической логики ${\displaystyle \neg }$ , ${\displaystyle \land \lor }$ , ${\displaystyle \lor }$  , ${\displaystyle \Rightarrow }$ , ${\displaystyle \Leftrightarrow }$  для обозначения соответственно отрицания «не» и связок «и», «или», «влечет», «равносильно»1 .

Возьмем, например, три представляющих и самостоятельный интерес высказывания:

${\displaystyle L}$  - «Если обозначения удобны для открытий …, то поразительным образом сокращается работа мысли» .

${\displaystyle P}$  - «Математика — это искусство называть разные вещи одинаковыми именами» .

${\displaystyle G}$  - «Великая книга природы написана языком математики» .

Тогда в соответствии с указанными обозначениями:

Запись

${\displaystyle L\Rightarrow P}$  - означает L влечет P

${\displaystyle L\Leftrightarrow P}$  - L равносильно P

${\displaystyle ((L\Rightarrow P)\land (\neg P))\Rightarrow (\neg L)}$  - Если P следует из L и P неверно, то L неверно

${\displaystyle \neg ((L\Leftrightarrow G)\lor (P\Leftrightarrow G))}$  - G не равносильно ни L, ни P

Мы видим, что пользоваться только формальными обозначениями, избегая разговорного языка, — не всегда разумно.

Мы замечаем, кроме того, что в записи сложных высказываний, составленных из более простых, употребляются скобки, выполняющие ту же синтаксическую функцию, что и при записи алгебраических выражений. Как и в алгебре, для экономии скобок можно договориться о «порядке действий». Условимся с этой целью о следующем порядке приоритета символов:

${\displaystyle \neg }$ , ${\displaystyle \land \lor }$ , ${\displaystyle \lor }$  , ${\displaystyle \Rightarrow }$ , ${\displaystyle \Leftrightarrow }$ 

При таком соглашении выражение ¬A∧ B∨C ⇒ D следует расшифровать как (((¬A) ∧ B) ∨ C) ⇒ D, а соотношение A ∨ B ⇒ C — как (A ∨ B) ⇒ C, но не как A∨(B⇒C). Записи A ⇒ B, означающей, что A влечет B или, что то же самое, B следует из A, мы часто будем придавать другую словесную интерпретацию, говоря, что B есть необходимый признак или необходимое условие A и, в свою очередь, A — достаточное условие или достаточный признак B. Таким образом, соотношение A⇔B можно прочитать любым из следующих способов: A необходимо и достаточно для B; A тогда и только тогда, когда B; A, если и только если B; A равносильно B. Итак, запись A ⇔ B означает, что A влечет B и, одновременно, B влечет A. Употребление союза и в выражении A∧ B пояснений не требует. Следует, однако, обратить внимание на то, что в выражении A ∨ B союз или неразделительный, т. е. высказывание A ∨ B считается верным, если истинно хотя бы одно из высказываний A, B. Например, пусть x — такое действительное число, что x 2 − 3x + 2 = 0. Тогда можно написать, что имеет место следующее соотношение: (x 2 −3x +2 = 0) ⇔ (x = 1)∨(x = 2).