Murad Babayev 10 dekabr 1951-ci ildə Cəbrayıl rayonunun Şükürbəyli kəndində Sosialist Əməyi Qəhrəmanı Babayev Köçəri Oruc oğlunun ailəsində anadan olub. 1968–1973-cü illərdə Bakı Dövlət Universitetinin hüquq fakültəsində təhsil alıb. 1973-cü ildə Binəqədi rayonunda təcrübəçi müstəntiq, 1977–1980-ci illərdə Bakı şəhərində açılmamış ölüm hadisələri üzrə müstəntiq, 1982-ci ildə Mingəçevir şəhərində prokuror vəzifəsində çalışıb.

1987-ci ildə Azərbaycan Respublikası Baş prokurorunun müavini, 26 noyabr 1991-ci ildə Azərbaycan Respublikasının Baş prokuroru vəzifəsinə təyin edilib. 1992-ci ilin sonunda vəzifəsindən istefa verib. 1993-cü ilin fevralında Bakı şəhər Nəqliyyat prokuroru təyin edilib. 7 il bu vəzifədə işləyəndən sonra təqaüdə çıxıb. Bundan sonra Təfəkkür Universitetində hüquq kafedrasının müdiri işləyib.

Ailəlidir, bir qız və bir oğul atasıdır.

6 yanvar 2013-cü ildə 62 yaşında ürək tutmasından dünyasını dəyişib.