Statika və mexanika elmlərnin əsaslarını genişləndirən və "mümkün yerdəyişmələr" kimi də tanınan "ümumi formulanın" əks olunduğu klassik "Analitik mexanika" traktatının müəllifi. Sonlu artımların formulası ve bir neçə digər teoremlər onun adı ilə bağlıdır.

Deyilənə görə Laqranj əsərlərini yazılışda bir səhv belə buraxmadan tamamlayırdı. 20 yaşı tamam olmamış Turində kral artilleriya məktəbinin həndəsə professoru dərəcəsini alır. İyirmi yaşlarında isə dalğaların yayılması və əyrilərin maksimum və minimumuna dair əsərlərinə görə isə artıq bütün dövrlərin ən böyük canlı riyaziyyatçısı kimi qəbul olunur. Eyler və Dalambertin məsləhəti isə Laqranj Berlində Prussiya Elmlər Akademiyasının riyaziyyat bölməsinin direktoru təyin olunur. Birinci Fransa İmperiyası zamanında o senator və qraf seçilir.

Dahi riyaziyyatçı Panteonda dəfn olunur.

Variasiya hesablamasının əsasına çevriləcək izoperimetrik problemi də məhz Laqranj həll etmişdir. Laqranj differensial tənliklər nəzəriyyəsini işləmiş, ədədlər nəzəriyyəsinə Vilson teoremi də daxil olmaqla bir çox yeni həllər və teoremlər daxil edir. Laqranj Theorie des fonctions analytiques əsərində grup nəzəriyyəsinin əsasını qoyur. O eyni zamanda riyazi analizin fundamental teoremi və Teylor teoremini sübut edəcək orta qiymət teoremini də irəli sürür. Laqranj parametrlərin variyasiyası adlı differensial tənliklərin həlli metodunu da tapır, differensiallamanı ehtimallar nəzəriyyəsinə tətbiq edir. O Yerin, Günəşin və Ayın üçlük problemi və Yupiterin peyklərinin hərəkəti məsələləri ilə məşğul olur və 1772-ci ildə problemin Laqranj nöqtələri kimi tanınan həllni tapır. Lakin bütün bunlardan da əvvəl Laqranj mexanika sahəsində böyük işləri ilə tanınır. O Nyuton mexanikasını analiz sahəsinə çevirir və bu mexanika hal-hazırda Laqranj mexanikası kimi tanınır. Və mexaniki "prinsiplər"i variyası hesablamasının sadə nəticəsi kimi nümayiş etdirir.

Berlin və Paris elmlər akademiyasının üzvü, Peterburq akademiyasının isə fəxri üzvü olmuşdur. Napoleon onu "Laqranj riyaziyyat elminin möhtəşəm ehramıdır" sözləri ilə ifadə etmişdir.laqranjın riyaziyyata aid əsas əsərləri variasiya hesabına, analitik və nəzəri mexanikaya həsr olunmuşdur. "Analitik mexanika" əsəri onun ən klassik əsəridir. Laqranj bir sıra araşdırmalar apararaq Teylor sırasının qalıq həddinin düsturu, sonlu artımlar düsturu, şərti ekstremumlar nəzəriyyəsi, simmetrik funksiyalar, kəsilməz kəsrlər nəzəriyyəsi və s. kimi kəşflər etmişdir.