Azər Qasımov 22 iyun 1966-cı ildə Bakı şəhərində anadan olmuşdur. Azərbaycan Pedaqoji Xarici İnstitutunu, Bakı Dövlət Universitetini və (Çin) bitirmişdir.

1994-cü ildə Azərbaycan Respublikasının Çin Xalq Respublikasındakı Səfirliyində tərcüməçi, 1994–1995-ci illərdə Azərbaycan Respublikası Xarici İşlər Nazirliyi Beynəlxalq təşkilatlar idarəsində attaşe, 1995–1996-cı illərdə Azərbaycan Respublikası Xarici İşlər Nazirliyi Konsulluq idarəsində attaşe, 1996–1997-ci illərdə Azərbaycan Respublikasının İran İslam Respublikasının Təbriz şəhərindəki Baş Konsulluğunda attaşe, 1997–1999-cu illərdə Azərbaycan Respublikasının İran İslam Respublikasındakı Səfirliyində attaşe, üçüncü katib, 1999–2000-ci illərdə Azərbaycan Respublikası Xarici İşlər Nazirliyi Asiya, Afrika və Latın Amerikası ölkələri idarəsində üçüncü katib, ikinci katib, 2000–2004-cü illərdə isə Azərbaycan Respublikasının Milli Məclisi Aparatının Beynəlxalq münasibətlər şöbəsinin müdiri vəzifəsində çalışmışdır.

Azərbaycan Respublikası Prezidentinin 13 mart 2004-cü il tarixli Sərəncamı ilə Azərbaycan Respublikası Prezidentinin Mətbuat katibi təyin edilmişdir.