Ayan şahmat oynamağa altı yaşında başlayıb. İlk müəllimi Vasif Abdullayevdir.

2014 və 2015-ci illərdə 10 yaşlı qızlar arasında, 2016 və 2017-ci illərdə isə 12 yaşlı qızlar arasında Azərbaycan çempionu olub. 2018-ci ildə eyni uğuru 14 yaşlı qızların qrupunda təkrarlayıb. 2018-ci ildə, həmçinin 20 yaşlı qızların qrupunda çıxış edib və bürünc medal qazanıb.

Müxtəlif yaş kateqoriyalarında Azərbaycanı yeniyetmələr arasında şahmat üzrə dünya və Avropa çempionatlarında təmsil etmişdir. 2015-ci ildə 10 yaşlı qızlar arasında keçirilən Avropa çempionatında ikinci olub. İki il sonra 12 yaşlı qızların qrupunda üçüncü yeri tutub. 2018-ci ildə Riqa şəhərində keçirilən yeniyetmələr arasında Avropa çempionatında 9 oyundan 8 xal yığmaqla 14 yaşlı qızlar arasında Avropa çempionu adını qazanıb. 2019-cu ildə Bratislavada keçirilmiş Avropa çempionatında 9 oyundan 7,5 xal yığaraq ikinci dəfə 14 yaşlı qızlar arasında Avropa çempionu adını qazanıb.

2023-cü ilin noyabrında İtaliyanın Montesilvano şəhərində qız və oğlanlar arasında keçirilmiş dünya birinciliyində 11 oyundan 9,5 xal toplamaqla 18 yaşlı qızlar arasında dünya çempionu olub.

2024-cü ilin fevral ayında qadınlar arasında Azərbaycan çempionatında 7 mümkün xaldan 5.5 xal toplayaraq, Azərbaycan çempionu adını qazanıb.

Ayan Allahverdiyeva 2016-cı ildə Bakıda keçirilmiş 42-ci Ümumdünya Şahmat Olimpiadasında Azərbaycanın qadınlardan ibarət üçüncü komandasının heyətində mübarizə aparmışdır.

1. Azərbaycan ev sahibi kimi Olimpiadada həm kişilərin, həm də qadınların yarışında üç komanda ilə təmsil olunurdu.